grafico da função

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.

Gráfico da função

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

? > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

? = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

? < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

desenvolvendo baskara

Formula de Baskara 

Muitas vezes lidamos com uma fórmula matemática sem ter a ideia de como se chegou a tal modelo matemático. Vamos ver agora uma demonstração da fórmula de Bhaskara, ou seja, como se chega à fórmula para resolver equações do 2º grau.
Considere uma equação do 2º grau do tipo:

equação 2°

introdução equação 2°

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

• 2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.
• 2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
• • x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.
  O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau?
  Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de Bhaskara . Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:
  Substituindo x = 4 na equação, temos:
  x² – 10x + 24 = 0
  4² – 10 * 4 + 24 = 0
  16 – 40 + 24 = 0
  –24 + 24 = 0
  0 = 0 (verdadeiro)
  Substituindo x = 6 na equação, temos:
  x² – 10x + 24 = 0
  6² – 10 * 6 + 24 = 0
  36 – 60 + 24 = 0
  – 24 + 24 = 0
  0 = 0 (verdadeiro)
  Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.
  Método de Bhaskara
  Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.
  Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
  Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja:
  
  1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)
  ∆ = b² – 4 * a * c
  ∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
  ∆ = 4 + 12
  ∆ = 16
  2º passo:
  x = – b ± √∆
        2∙a
  x = –(– 2) ± √16
         2∙1
  x = 2 ± 4
       2
  x' = 2 + 4 = 6 = 3
     2       2
  x'' = 2 – 4 = – 2 = – 1
  2        2
  Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.
  Exemplo II: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.
  Os coeficientes são:
  a = 1
  b = 8
  c = 16
  ∆ = b² – 4 * a * c
  ∆ = 8² – 4 * 1 * 16
  ∆ = 64 – 64
  ∆ = 0
  x = – b ± √∆
       2∙a
  x = – 8 ± √0
       2∙1
  x' = x'' = –8 = – 4
      2
  No exemplo 2, devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.
  Exemplo III: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.
  ∆ = b² – 4 * a * c
  ∆ = 6² – 4 * 10 * 10
  ∆ = 36 – 400
  ∆ = –364
  Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é negativo, a equação não possui raízes reais.

exercicios

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

  

  Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

    Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

    Observe este outro exemplo:

•     Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

              O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

              Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

    Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

                                    

• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo  o conjunto dos números racionais.

                                   

• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

reforçando as equações....

O estudo das equações pode assustar no início, mas seu desenvolvimento é bastante simples. Vejamos uma situação que envolve o princípio algébrico de equações. Na balança acima, considere que cada bolinha tem o mesmo peso, o que poderíamos fazer para que ambos os lados tivessem a mesma quantidade de bolas? Claramente podemos ver que é necessário retirar uma bola do lado A e, ao mesmo tempo, acrescentar uma bola ao lado B. Dessa forma, cada lado da balança ficaria com a mesma quantidade de bolas e com o mesmo peso.Imaginemos outra situação: na imagem abaixo, a caixa possui um determinado peso, o que você deve fazer para encontrar esse peso?

Primeiramente, devemos deixar a caixa de nome x sozinha no lado A da balança, para isso, devemos retirar as duas bolas que estão no lado A e, em seguida, acrescentar as duas bolas ao lado B. Acompanhe:

A caixa tem peso igual às três bolas

A forma que movemos as bolas fez com que a balança se equilibrasse. Isso indica que a caixa tem o mesmo peso que as três bolas. Vejamos como isso acontece na Álgebra:

x - 2 = 1

Lembrando o nosso exemplo anterior, essa situação indica o momento em que a balança não estava equilibrada. Para tentar equilibrá-la, nós precisamos deixar a caixa sozinha. Portanto, faremos isso aqui também. A ação de um lado da balança é contrária à ação do outro lado da balança (Lembra que retiramos duas bolas do lado A e acrescentamos duas bolas ao lado B?). Sendo assim, devemos retirar esse -2 do lado esquerdo e colocar o +2 do lado direito. Teremos, então:

x = 1 +2

x = 3

Sempre que vamos resolver uma equação, precisamos ter claro o objetivo de deixar a nossa letra (incógnita, ela representa o valor que queremos descobrir) sozinha de um lado da equação. Para fazer isso, precisamos que os números mudem de lado, sempre fazendo a operação inversa a que estão realizando. É bom que mudemos de lado primeiro os números que estão mais distantes da incógnita. Vejamos outros exemplos:

5.n = 15 n = 15      5 n = 3

a   = 132            6 a = 132 . 6 a = 792

3.y+ 10 = 91 3.y = 91 – 10 3.y = 81 y = _81       3 y = 27

2.x   + 4 = 10          5        2.x   = 10 – 4         5        2.x   = 6         5 2.x = 6 . 5 2.x = 30 x = 30       2 x = 15

Equações são sentenças matemáticas que fazem parte do estudo da Álgebra. A ideia da balança de pratos permite um novo olhar na introdução do estudo de equação do 1º grau.

                                               Introdução equação primeiro grau.

    Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3   (Não é igualdade)

   (não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

  

  

   Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

   A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

   Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

                

   Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.